Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線經過點A（0，2）和B（1，）．

（1）求該拋物線的表達式；

（2）已知點C與點A關于此拋物線的對稱軸對稱，點D在拋物線上，且點D的橫坐標為4，求點C與點D的坐標；

（3）在（2）的條件下，將拋物線在點A，D之間的部分（含點A，D）記為圖象G，如果圖象G向下平移t（t＞0）個單位后與直線BC只有一個公共點，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x+2；（2）C點坐標為（2，2）；D點坐標為（4，6）；（3）當1＜t≤3時，圖象G向下平移t（t＞0）個單位后與直線BC只有一個公共點．

【解析】

試題分析：（1）把A點和B點坐標代入得到關于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式；

（2）利用配方法得到y=（x﹣1）2+，則拋物線的對稱軸為直線x=1，利用點C與點A關于直線x=1對稱得到C點坐標為（2，2）；然后利用二次函數圖象上點的坐標特征求D點坐標；

（3）畫出拋物線，如圖，先利用待定系數法求出直線BC的解析式為y=x+1，再利用平移的性質得到圖象G向下平移1個單位時，點A在直線BC上；圖象G向下平移3個單位時，點D在直線BC上，由于圖象G向下平移t（t＞0）個單位后與直線BC只有一個公共點，所以1＜t≤3．

解：（1）把A（0，2）和B（1，）代入得，解得，

所以拋物線解析式為y=x2﹣x+2；

（2）∵y=x2﹣x+2=（x﹣1）2+，

∴拋物線的對稱軸為直線x=1，

∵點C與點A關于此拋物線的對稱軸對稱，

∴C點坐標為（2，2）；

當x=4時，y=x2﹣x+2=8﹣4+2=6，

∴D點坐標為（4，6）；

（3）如圖，

設直線BC的解析式為y=mx+n，

把B（1，），C（2，2）代入得，解得，

∴直線BC的解析式為y=x+1，

當x=0時，y=x+1=1，

∴點圖象G向下平移1個單位時，點A在直線BC上，

當x=4時，y=x+1=3，

∴點圖象G向下平移3個單位時，點D在直線BC上，

∴當1＜t≤3時，圖象G向下平移t（t＞0）個單位后與直線BC只有一個公共點．