Question

【題目】拋物線過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為M點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）試判斷拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使∠POM＝90．若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）試判斷拋物線上是否存在一點(diǎn)K，使∠OMK＝90，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在．

【解析】

試題（1）將A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c中，列方程組求a、b、c的值，得出拋物線解析式；

（2）拋物線上存在一點(diǎn)P，使∠POM=90．設(shè)（a，a2-4a），過(guò)P點(diǎn)作PE⊥y軸，垂足為E；過(guò)M點(diǎn)作MF⊥y軸，垂足為F，利用互余關(guān)系證明Rt△OEP∽R(shí)t△MFO，利用相似比求a即可；

（3）拋物線上必存在一點(diǎn)K，使∠OMK=90．過(guò)頂點(diǎn)M作MN⊥OM，交y軸于點(diǎn)N，在Rt△OMN中，利用互余關(guān)系證明△OFM∽△MFN，利用相似比求N點(diǎn)坐標(biāo)，再求直線MN解析式，將直線MN解析式與拋物線解析式聯(lián)立，可求K點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）根據(jù)題意，得

解得

∴ 拋物線的解析式為．

（2）拋物線上存在一點(diǎn)P，使∠POM＝90．

x=，.

∴ 頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為．

設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)P，滿足OP⊥OM，其坐標(biāo)為．

過(guò)P點(diǎn)作PE⊥y軸，垂足為E；過(guò)M點(diǎn)作MF⊥y軸，垂足為F．

則 ∠POE＋∠MOF＝90，∠POE＋∠EPO＝90．

∴ ∠EPO＝∠FOM．

∵ ∠OEP＝∠MFO＝90，

∴ Rt△OEP∽R(shí)t△MFO．

∴ OE∶MF=EP∶OF．

即．

解，得（舍去），．

∴ P點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（3）

過(guò)頂點(diǎn)M作MN⊥OM，交y軸于點(diǎn)N．則 ∠FMN＋∠OMF＝90．

∵ ∠MOF＋∠OMF＝90，

∴ ∠MOF＝∠FMN．

又∵ ∠OFM＝∠MFN＝90，

∴ △OFM∽△MFN．

∴ OF∶MF＝MF∶FN． 即 4∶2＝2∶FN．∴ FN＝1．

∴ 點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，-5）．

設(shè)過(guò)點(diǎn)M，N的直線的解析式為．

解，得直線的解析式為．

∴把①代入②，得．

．

∴ 直線MN與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)（其中一點(diǎn)為頂點(diǎn)M）．

∴ 拋物線上必存在一點(diǎn)K，使∠OMK＝90．