Question

【題目】如圖，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，AB=4，點A的坐標為（-1,0），點C在y軸的正半軸。若拋物線y=ax2+bx+c (a≠0)的圖像經過點A,B,C，則拋物線的表達式為__________；若以動直線l:y=-x+m為對稱軸，線段BC關于直線l的對稱線段BC與二次函數圖像有交點，則m的取值范圍是__________.

Answer 1

【答案】 y= (x+1)(x-3) ≤m≤或≤m≤

【解析】（1）先求出OB=3，吧（3，0），再證明Rt△OCB∽△RtOAC，則可利用相似比計算出OC=，得到（0， ），然后利用待定系數法，運用交點式求出拋物線解析式.

解：（1）∵AB=4，點Bd的坐標為（-1，0），

∴OB=3，B（3，0），

∵∠BCO+∠CBO=90°，∠CBA+∠CAO=90°，

∴∠BCO=∠CAO，

∴Rt△OCB∽Rt△OAC，

∴OC：OA=OB：OC，即OC：3+1：OC，

∴OC=，

∴C（0， ），

設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），

把C（0， ）代入得-3a=,解得a=-，

所以拋物線解析式為：y=-（x+1）（x-3），即y=-x2+x+.

(2). 當線段BC關于直線l的對稱線段BC與二次函數圖像有交點時，m的取值范圍是≤m≤或≤m≤

“點精”本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數的性質，會利用待定系數法求拋物線解析式；靈活運用系數三角形的判定與性質；利用兩點間線段最短路徑問題；能應用分類討論的思想解決數學問題.