Question

已知直線y＝x＋4與x軸、y軸分別交于AB兩點，∠ABC＝60°，BC與x軸交于點C．

(1)試確定直線BC的解析式．

(2)若動點P從A點出發沿AC向點C運動(不與AC重合)，同時動點Q從C點出發沿CBA向點A運動(不與CA重合)，動點P的運動速度是每秒1個單位長度，動點Q的運動速度是每秒2個單位長度．設△APQ的面積為S，P點的運動時間為t秒，求S與t的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍．

(3)在(2)的條件下，當△APQ的面積最大時，y軸上有一點M，平面內是否存在一點N，使以A、Q、M、N為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出N點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

答：直線BC的解析式為y＝－x＋4 　　解：(1)由已知得A點坐標(－4，0)，B點坐標(0，4)， 　　∵OA＝4OB＝4， 　　∴∠BAO＝60°， 　　∵∠ABC＝60°， 　　∴△ABC是等邊三角形， 　　∵OC＝OA＝4， 　　∴C點坐標(4，0)， 　　設直線BC解析式為y＝kx﹢b， 　　， 　　∴， 　　∴直線BC的解析式為y＝－x＋4； 　　(2)當P點在AO之間運動時，作QH⊥x軸． 　　∵， 　　∴， 　　∴QH＝t 　　∴S△APQ＝AP·QH＝t·t＝t2(0＜t≤4)，(2分) 　　同理可得S△APQ＝t·(8－t)＝－(4≤t＜8)；(2分) 　　(3)存在，(4，0)，(－4，8)(－4，－8)(－4，)．(4分) 　　分析：(1)由已知得A點坐標，通過OA，OB長度關系，求得角BAO為60度，即能求得點C坐標，設直線BC代入BC兩點即求得． 　　(2)當P點在AO之間運動時，作QH⊥x軸．再求得QH，從而求得三角形APQ的面積． 　　(3)由(2)所求可知，是存在的，寫出點的坐標． 　　點評：本題考查了一次函數的運用，考查了一次函數與直線交點坐標，從而求得AB的長度，由△ABC是等邊三角形，從而求得．