Question

【題目】已知：矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點M、N分別在邊AB、CD上，直線MN交矩形對角線AC于點E，將△AME沿直線MN翻折，點A落在點P處，且點P在射線CB上

（I）如圖①，當EP⊥BC時，①求證CE=CN；②求CN的長；

（II）請寫出線段CP的長的取值范圍，及當CP的長最大時MN的長。

Answer 1

【答案】（1）①見解析②（2）O≤CP≤5，MN最大值為

【解析】

（1）先由折疊得出∠AEM=∠PEM，AE=PE，再判斷出AB∥EP，進而判斷出CN=CE,再利用銳角三角函數即可得出CN的長；（2）先確定出PC的最大值和最小值的位置，即可得出PC的范圍，最后用折疊的性質與勾股定理即可得出結論.

（1）①∵△AME沿直線MN翻折，點A落在點P處，

∴△AME≌△PME，

∴∠AME=∠PEM，AE=PE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB⊥BC，

∵EP⊥BC，

∴AB∥EP，

∴∠AME=∠PEM，

∴∠AEM=∠AME，

∴AM=AE,

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥AE，

∴

∴CN=CE

②設CN=CE=x，

∵四邊形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，

∴AC=5，

∴PE=AE=5-x，

∵EP⊥BC，

∴，

∴

∴x=

即CN=

（2）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，根據勾股定理得AC=5，

由折疊可知AE=PE,

由三角形的三邊關系得，PE+CE＞PC，

∴AC＞PC，

∴PC＜5，

∴點E是AC中點時，PC的最小為0，當點E和點C重合時，PC最大為AC=5，

∴O≤CP≤5，

如圖，當點C、N、E重合時，PC=BC+BP=5，

∴BP=2，

由折疊得PM=AM，

在Rt△PBM中，PM=4-BM，根據勾股定理得PM2-BM2=BP2，

∴(4-BM)2-BM2=42，

∴BM=

在Rt△BCM中，根據勾股定理得MN=

即當CP最大時，MN=.