Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過△ABC的三個頂點，與y軸相交于（0， ），點A坐標為（﹣1，2），點B是點A關于y軸的對稱點，點C在x軸的正半軸上．

（1）求該拋物線的函數關系表達式．
（2）點F為線段AC上一動點，過F作FE⊥x軸，FG⊥y軸，垂足分別為E、G，當四邊形OEFG為正方形時，求出F點的坐標．
（3）將（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG，當點E和點C重合時停止運動，設平移的距離為t，正方形的邊EF與AC交于點M，DG所在的直線與AC交于點N，連接DM，是否存在這樣的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點B是點A關于y軸的對稱點，

∴拋物線的對稱軸為y軸，

∴拋物線的頂點為（0， ），

故拋物線的解析式可設為y=ax2+ ．

∵A（﹣1，2）在拋物線y=ax2+ 上，

∴a+ =2，

解得a=﹣ ，

∴拋物線的函數關系表達式為y=﹣ x2+

（2）

解：①當點F在第一象限時，如圖1，

令y=0得，﹣ x2+ =0，

解得：x1=3，x2=﹣3，

∴點C的坐標為（3，0）．

設直線AC的解析式為y=mx+n，

則有 ，

解得 ，

∴直線AC的解析式為y=﹣ x+ ．

設正方形OEFG的邊長為p，則F（p，p）．

∵點F（p，p）在直線y=﹣ x+ 上，

∴﹣ p+ =p，

解得p=1，

∴點F的坐標為（1，1）．

②當點F在第二象限時，

同理可得：點F的坐標為（﹣3，3），

此時點F不在線段AC上，故舍去．

綜上所述：點F的坐標為（1，1）

（3）

解：過點M作MH⊥DN于H，如圖2，

則OD=t，OE=t+1．

∵點E和點C重合時停止運動，∴0≤t≤2．

當x=t時，y=﹣ t+ ，則N（t，﹣ t+ ），DN=﹣ t+ ．

當x=t+1時，y=﹣ （t+1）+ =﹣ t+1，則M（t+1，﹣ t+1），ME=﹣ t+1．

在Rt△DEM中，DM2=12+（﹣ t+1）2= t2﹣t+2．

在Rt△NHM中，MH=1，NH=（﹣ t+ ）﹣（﹣ t+1）= ，

∴MN2=12+（ ）2= ．

①當DN=DM時，

（﹣ t+ ）2= t2﹣t+2，

解得t= ；

②當ND=NM時，

﹣ t+ = = ，

解得t=3﹣ ；

③當MN=MD時，

= t2﹣t+2，

解得t1=1，t2=3．

∵0≤t≤2，∴t=1．

綜上所述：當△DMN是等腰三角形時，t的值為 ，3﹣ 或1．

【解析】（1）易得拋物線的頂點為（0， ），然后只需運用待定系數法，就可求出拋物線的函數關系表達式；（2）①當點F在第一象限時，如圖1，可求出點C的坐標，直線AC的解析式，設正方形OEFG的邊長為p，則F（p，p），代入直線AC的解析式，就可求出點F的坐標；②當點F在第二象限時，同理可求出點F的坐標，此時點F不在線段AC上，故舍去；（3）過點M作MH⊥DN于H，如圖2，由題可得0≤t≤2．然后只需用t的式子表示DN、DM2、MN2 ， 分三種情況（①DN=DM，②ND=NM，③MN=MD）討論就可解決問題．本題主要考查了運用待定系數法求拋物線及直線的解析式、直線及拋物線上點的坐標特征、拋物線的性質、解一元二次方程、勾股定理等知識，運用分類討論的思想是解決第（2）、（3）小題的關鍵，在解決問題的過程中要驗證是否符合題意．
【考點精析】認真審題，首先需要了解確定一次函數的表達式(確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法)，還要掌握拋物線與坐標軸的交點(一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．)的相關知識才是答題的關鍵．