Question

已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中，OC=3，BC=2，取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)MC，把△MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長(zhǎng)度后得到△DAO.

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)B與點(diǎn)D在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線(xiàn)上，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的該拋物線(xiàn)上移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，連結(jié)OP.
①若以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△DAO相似，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②試問(wèn)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)T，使得的值最大.若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）；（2）① ，；②

試題分析：（1）根據(jù)矩形及平移的性質(zhì)即可得到結(jié)果；
（2）①由，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)可設(shè)，再根據(jù)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)可求得拋物線(xiàn)的解析式，則可設(shè)點(diǎn)再分∽與∽兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果；
②先求得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得，則要使得的值最大，即是使得的值最大，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得當(dāng)、、三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，的值最大，根據(jù)待定系數(shù)法求得直線(xiàn)的解析式，即可求得結(jié)果.
（1）；
（2）① ∵，
∴
∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)
∴設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為
又拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)
∴，解得：
∴拋物線(xiàn)的解析式為
∵點(diǎn)在拋物線(xiàn)上
∴設(shè)點(diǎn)
1)若∽，則，
解得(舍去)，，
∴點(diǎn).

2)若∽，則，，
解得(舍去)，，
∴點(diǎn)
②存在點(diǎn)，使得的值最大.
拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，設(shè)拋物線(xiàn)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，則點(diǎn).
∵點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，
∴
要使得的值最大，即是使得的值最大，
根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知，當(dāng)、、三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，的值最大.設(shè)過(guò)、兩點(diǎn)的直線(xiàn)解析式為，
∴   解得：
∴直線(xiàn)的解析式為.
當(dāng)時(shí)，.
∴存在一點(diǎn)使得最大.
點(diǎn)評(píng)：本題知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，難度較大，一般是中考?jí)狠S題，需要學(xué)生熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用.