Question

【題目】.如圖，點A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延長線相交于點C．若AB是⊙O的直徑，D是BC的中點．

（1）試判斷AB、AC之間的大小關系，并給出證明；

（2）在上述題設條件下，當△ABC為正三角形時，點E是否AC的中點？為什么？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當△ABC為正三角形時，E是AC的中點，證明見解析.

【解析】試題分析：（1）連接AD，根據(jù)圓周角定理求出∠ADB=90°，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)推出即可；

（2）根據(jù)圓周角定理求出∠AEB=90°，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出即可．

試題解析：（1）證明： 連接OD，如圖，

∵C是的中點，

∴∠BOC=∠COD=60°，

∴∠AOD=60°，且OA=OD，

∴△AOD為等邊三角形，

∴∠EAB=∠COB，

∴OC∥AE，

∴∠OCE+∠AEC=180°，

∵CE⊥AE，

∴∠OCE=180°-90°=90°，即OC⊥EC，

∵OC為圓的半徑， ∴CE為圓的切線；

（2）解： 四邊形AOCD是菱形，理由如下：

由（1）可知△AOD和△COD均為等邊三角形，

∴AD=AO=OC=CD，

∴四邊形AOCD為菱形