Question

3．如圖，∠AOB=90°，∠BOC=30°，射線OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）求∠MON的度數；
（2）如果（1）中，∠AOB=α，其他條件不變，求∠MON的度數；
（3）如果（1）中，∠BOC=β（β為銳角），其他條件不變，求∠MON的度數；
（4）從（1）、（2）、（3）的結果中，你能看出什么規律？

Answer 1

分析 （1）先求得∠AOC的度數，然后由角平分線的定義可知∠MOC=60°，∠CON=15°，最后根據∠MON=∠MOC-∠CON求解即可；
（2）先求得∠AOC=α+30°，由角平分線的定義可知∠MOC=$\frac{1}{2}$α+15°，∠CON=15°，最后根據∠MON=∠MOC-∠CON求解即可；
（3）先求得∠AOC=β+90°，由角平分線的定義可知∠MOC=$\frac{1}{2}$β+15°，∠CON=$\frac{1}{2}$β，最后根據∠MON=∠MOC-∠CON求解即可；
（4）根據計算結果找出其中的規律即可．

解答 解：（1）∠AOB=90°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=90°+30=120°．
由角平分線的性質可知：∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC=15°．
∵∠MON=∠MOC-∠CON，
∴∠MON=60°-15°=45°；
（2）∠AOB=α，∠BOC=30°，
∴∠AOC=α+30°．
由角平分線的性質可知：∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$α+15°，∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC=15°．
∵∠MON=∠MOC-∠CON，
∴∠MON=$\frac{1}{2}$α+15°-15°=$\frac{1}{2}$α．
（3）∠AOB=90°，∠BOC=β，
∴∠AOC=β+90°．
由角平分線的性質可知：∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$β+45°，∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$β．
∵∠MON=∠MOC-∠CON，
∴∠MON=$\frac{1}{2}$β+45°-$\frac{1}{2}$β=45°．
（4）根據（1）、（2）、（3）可知∠MON=$\frac{1}{2}$∠BOA，與∠BOC的大小無關．

點評 本題主要考查的是角的計算、角平分線的定義，求得∠MOC和∠CON的大小，然后再依據∠MON=∠MOC-∠CON求解是解題的關鍵．