Question

【題目】如圖，已知∠MON＝120°，點A，B分別在OM，ON上，且OA＝OB＝a，將射線OM繞點O逆時針旋轉得到OM′，旋轉角為α（0°＜α＜120°且α≠60°），作點A關于直線OM′的對稱點C，畫直線BC交OM′于點D，連接AC，AD，則有：(1)AD＝__ CD(填數量關系)；(2)△ACD面積的最大值為_____．

Answer 1

【答案】1

【解析】

(1) 根據對稱的性質：對稱點的連線被對稱軸垂直平分可得：OM'是AC的垂直平分線，再由垂直平分線的性質可作判斷；(2) 作⊙O，根據四點共圓的性質得：∠ACD=∠E=60°，證明△ACD是等邊三角形，當AC最大時，△ACD的面積最大，當AC為直徑時最大，根據面積公式計算后可作判斷．

(1)∵A、C關于直線OM′對稱，

∴OM′是AC的垂直平分線，

∴AD=1CD；

(2) 連接OC，

由(1)知：OM′是AC的垂直平分線，

∴OC=OA，

∴OA=OB=OC，

以O為圓心，以OA為半徑作⊙O，交AO的延長線于E，連接BE，則A、B、C都在⊙O上，

∵∠MON=120°，

∴∠BOE=60°，

∵OB=OE，

∴△OBE是等邊三角形，

∴∠E=60°，

∵A、C、B、E四點共圓，

∴∠ACD=∠E=60°，

∵CD=AD，∠ACD=60°，

∴△ACD是等邊三角形，

當AC最大時，△ACD的面積最大，

∵AC是⊙O的弦，即當AC為直徑時最大，此時AC=2OA=2a，α=90°，

∴△ACD面積的最大值是：.