Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，頂點為M的拋物線經過點A和x軸正半軸上的點B，AO=OB=2，∠AOB=1200．

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）連接OM，求∠AOM的大小；

（3）如果點C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點C的坐標．

Answer 1

【答案】解：（1） .

（2）150°.

（3）C的坐標為（4，0）或（8，0）.

【解析】

（1）應用三角函數求出點A的坐標，將A，B的坐標代入，即可求得a、b，從而求得拋物線的表達式.

（2）應用二次函數的性質，求出點M的坐標，從而求得，進而求得∠AOM的大小.

（3）由于可得，根據相似三角形的判定，分，兩種情況討論.

解：（1）如圖，過點A作AD⊥y軸于點D，

∵AO=OB=2，∴B（2，0）.

∵∠AOB=1200，∴∠AOD=300，∴AD=1，OD=.

∴A（－1，）.

將A（－1，），B（2，0）代入，得：

，解得.

∴這條拋物線的表達式為.

（2）過點M作ME⊥x軸于點E，

∵

∴M（1，），即OE=1，EM= .

∴.∴.

∴∠AOM=∠AOB+∠EPM=150°.

（3）過點A作AH⊥x軸于點H ，

∵AH=，HB=HO＋OB=3，

∴tan∠ABH==

∴∠ABH=30°,∠ABC=150°,

∴∠AOM=∠ABC.

∴要△ABC與△AOM相似，則必須：

①，或②.

設點C的坐標為（c，0），則根據坐標和勾股定理，有

AO=2，OM=，BC=c-2，AB=.

①由得，，解得.∴C1（4，0）.

②由得，，解得c=8.∴C2（8，0）.

綜上所述，如果點C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，則點C的坐標為（4，0）或（8，0）.