Question

【題目】已知：如圖1，四邊形ABCD內接于⊙O，AC⊥BD于點P，OE⊥AB于點E，F為BC延長線上一點．

（1）求證：∠DCF=∠DAB；

（2）求證：；

（3）當圖1中點P運動到圓外時，即AC、BD的延長線交于點P，且∠P=90°時（如圖2所示），（2）中的結論是否成立？如果成立請給出你的證明，如果不成立請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）利用三角形外角的性質可以得到∠DCF＝∠CBD＋∠CDB，再根據∠CBD＝∠DAC，∠CDB＝∠CAB即可得到結論；

（2）連接AO并延長交⊙O與點G，連接GB，利用三角形中位線的性質即可得到 ．

（3）結論仍然成立，證明方法同（2）．

（1）證明：∵∠DCF是△BDC的外角，

∴∠DCF=∠CBD+∠CDB．

∵∠CBD=∠DAC，∠CDB=∠CAB，

∴∠DCF=∠DAB．

（2）解：連接AO并延長交⊙O于點G，連接GB，

∵AG過O點，為圓O直徑，

∴∠ABG=90°．

∵OE⊥AB于點E，

∴E為AB中點．

∴．

∵AC⊥BD，

∴∠APD=90°．

∴∠DAP+∠ADP=90°．

∵∠BAG+∠G=90°．且∠ADP=∠G，

∴∠DAP=∠BAG．

∴CD=BG．

∴．

（3）解：（2）的結論成立．

證明：連接AO并延長交⊙O于點G，連接GB，

∴∠ABG=90°．

∵OE⊥AB于點E，

∴E為AB中點．

∴．

由（2）證明可知，∠PDA=∠G，

∴∠PAD=∠BAG．

∴CD=BG．

∴．