Question

【題目】菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F點，下列結論：

①BF為∠ABE的角平分線；

②DF=2BF；

③2AB2=DFDB；

④sin∠BAE=．其中正確的為(　　)

A.①③B.①②④C.①④D.①③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

由四邊形ABCD是菱形，即可得BF為∠ABE的角平分線；可得①正確；由當∠ABC=60°時，DF=2BF，可得②錯誤；連接AC，易證得△AOD∽△FAD，由相似三角形的對應邊成比例，可證得AD：DF=OD：AD，繼而可得2AB2=DFDB，即④正確；連接FC，易證得△ABF≌△CBF（SAS），可得∠BCF=∠BAE，AF=CF，然后由正弦函數的定義，可求得④正確．

解：①∵四邊形ABCD是菱形，∴BF為∠ABE的角平分線，

故①正確；

②連接AC交BD于點O．

∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD，∴當∠ABC=60°時，△ABC是等邊三角形，

即AB=AC，

則DF=2BF．

∵∠ABC的度數不定，∴DF不一定等于2BF；

故②錯誤；

③∵AE⊥BC，AD∥BC，∴AE⊥AD，∴∠FAD=90°．

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=DB，AD=AB，∴∠AOD=∠FAD=90°．

∵∠ADO=∠FDO，∴△AOD∽△FAD，∴AD：DF=OD：AD，∴AD2=DFOD，∴AB2=DFDB，

即2AB2=DFDB；

故③正確；

④連接CF，

在△ABF和△CBF中，∴△ABF≌△CBF(SAS)，∴∠BCF=∠BAE，AF=CF，

在Rt△EFC中，sin∠ECF==，∴sin∠BAE=．

故④正確．

故選：D．