Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是線段OB上的一點（不與點B重合），D，E是半圓上的點且CD與BE交于點F,用①，②DC⊥AB，③FB=FD中的兩個作為題設，余下的一個作為結論組成一個命題，則組成真命題的個數為（ ）

A.0B.1C.2D.3

Answer 1

【答案】D

【解析】

連接OE、OD，

（1）當，DC⊥AB時，由圓周角定理可得∠EOD=∠DOB，根據等腰三角形的性質可得OF⊥BE，由CD⊥AB可得∠OFB=∠OCD=90°，利用AAS可證明△OCD≌OFB，可得∠ODC=∠OBF，根據等腰三角形的性質可得∠OBD=∠ODB，利用角的和差關系可得∠FBD=∠FDB，即可證明FB=FD；

（2）當，FB=FD時，同（1）可得OF⊥BE，根據等腰三角形的性質可得∠OBD=∠ODB，∠FBD=∠FDB，利用角的和差關系可得∠ODC=∠OBF，利用ASA可證明△OCD≌OFB，可得∠OFB=∠OCD=90°，可得DC⊥AB；

（3）當DC⊥AB，FB=FD時，同（2）可得△OCD≌OFB，由DC⊥AB可得∠OFB=∠OCD=90°，根據垂徑定理可得，綜上即可得答案.

如圖，連接OE、OD，

（1）當，DC⊥AB時，

∵，OD為半徑，

∴∠EOD=∠DOB，

∵OE=OB，

∴OF⊥BE，

∴∠OFB=90°，

∵DC⊥AB，

∴∠DCB=∠OFB=90°，

在△OCD和△OFB中，，

∴△OCD≌△OFB，

∴∠ODC=∠OBF，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∴∠OBD-∠OBF=∠ODB-∠ODC，即∠FDB=∠FBD，

∴FB=FD.

（2）當，FB=FD時，

∵，OD為半徑，

∴∠EOD=∠DOB，

∵OE=OB，

∴OF⊥BE，

∴∠OFB=90°，

∵OD=OB，FB=FD，

∴∠ODB=∠OBD，∠FDB=∠FBD，

∴∠ODC=∠OBF，

在△OCD和△OFB中，，

∴△OCD≌△OFB，

∴∠OCD=∠OFB=90°，

∴DC⊥AB.

（3）當DC⊥AB，FB=FD時，

∵DC⊥AB，

∴∠OCD=90°，

∵OD=OB，FB=FD，

∴∠ODB=∠OBD，∠FDB=∠FBD，

∴∠ODC=∠OBF，

在△OCD和△OFB中，，

∴△OCD≌△OFB，

∴∠OFB=∠OCD=90°，

∴OD⊥BE，

∵OD是半徑，

∴.

綜上所述，組成真命題的個數為3，

故選：D.