Question

【題目】在四邊形中， ，對角線平分.

（1）如圖1，若，且，試探究邊、與對角線的數量關系并說明理由.

（2）如圖2，若將（1）中的條件“”去掉，（1）中的結論是否成立？請說明理由.

（3）如圖3，若，探究邊、與對角線的數量關系并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.證明見解析；（2）成立；（3）.理由見解析.

【解析】試題分析：（1）結論：AC=AD+AB，只要證明AD=AC，AB=AC即可解決問題；

（2）（1）中的結論成立．以C為頂點，AC為一邊作∠ACE=60°，∠ACE的另一邊交AB延長線于點E，只要證明△DAC≌△BEC即可解決問題；

（3）結論：AD+AB＝AC．過點C作CE⊥AC交AB的延長線于點E，只要證明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解決問題；

試題解析：解：（1）AC=AD+AB．

理由如下：如圖1中，

在四邊形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，

∴∠D=90°，

∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠BAC=60°，

∵∠B=90°，

∴AB＝AC，同理AD＝AC．

∴AC=AD+AB．

（2）（1）中的結論成立，理由如下：以C為頂點，AC為一邊作∠ACE=60°，∠ACE的另一邊交AB延長線于點E，

∵∠BAC=60°，

∴△AEC為等邊三角形，

∴AC=AE=CE，

∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，

∴∠DCB=60°，

∴∠DCA=∠BCE，

∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，

∴∠D=∠CBE，∵CA=CE，

∴△DAC≌△BEC，

∴AD=BE，

∴AC=AD+AB．

（3）結論：AD+AB＝AC．理由如下：

過點C作CE⊥AC交AB的延長線于點E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，

∴DCB=90°，

∵∠ACE=90°，

∴∠DCA=∠BCE，

又∵AC平分∠DAB，

∴∠CAB=45°，

∴∠E=45°．

∴AC=CE．

又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，

∴△CDA≌△CBE，

∴AD=BE，

∴AD+AB=AE．

在Rt△ACE中，∠CAB=45°，

∴AE＝

∴.