Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸相交于點A（﹣2，0）、B（4，0），與y軸交于點C（0，﹣4），BC與拋物線的對稱軸相交于點D．

（1）求該拋物線的表達式，并直接寫出點D的坐標；

（2）過點A作AE⊥AC交拋物線于點E，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4，D（1，﹣3）；（2）E（5，）

【解析】

（1）設拋物線的解析式為y=a(x+2)(x4), 將C(0,4)代入求解即可；記拋物線的對稱軸與x軸交點坐標為F．先求得拋物線的對稱軸，則可得到FB的長，然后再證明△BFD為等腰直角三角形，從而可得到FD=FB=3，故此可得到點D的坐標；
（2）過點E作EH⊥AB，垂足為H．先證∠EAH=∠ACO，則tan∠EAH=tan∠ACO=.設EH=t，則AH=2t，從而可得到E（-2+2t，t），最后，將點E的坐標代入拋物線的解析式求解即可；

(1)設拋物線的解析式為y=a(x+2)(x4),將C(0,4)代入得：8a=4,解得：

∴拋物線的解析式為

如下圖所示：記拋物線的對稱軸與x軸交點坐標為F.

∵拋物線的對稱軸為

∴BF=OBOF=3.

∵BO=OC=4,

∴

∴△BFD為等腰直角三角形,

∴FD=FB=3.

∴D(1,3).

(2)如下圖，過點E作EH⊥AB，垂足為H.

∵

∴∠EAH=∠ACO.

∴tan∠EAH=tan∠ACO=.

設EH=t，則AH=2t，

∴點E的坐標為(2+2t,t).

將(2+2t,t)代入拋物線的解析式得：

解得：或t=0(舍去)

∴