Question

【題目】如圖1，在ABEF中，AB=2，AF＜AB，現將線段EF在直線EF上移動，在移動過程中，設線段EF的對應線段為CD，連接AD、BC．

（1）在上述移動過程中，對于四邊形的說法不正確的是 B

A．面積保持不變 B．只有一個時刻為菱形

C．只有一個時刻為矩形 D．周長改變

（2）在上述移動過程中，如圖2，若將△ABD沿著BD折疊得到△A′BD（點A′與點C不重合），A′B交CD于點O．

①試問A′C與BD平行嗎？請說明理由；

②若以A′、D、B、C為頂點的四邊形是矩形，且對角線的夾角為60°，求AD的長．

Answer 1

【答案】(1)、B；(2)、①、理由見解析；②、1或

【解析】

試題分析：(1)、根據平移的性質進行判斷即可；(2)、①根據對折的性質得出對應邊和角相等，再根據平行線的判定解答即可； ②根據矩形的性質和等邊三角形的性質進行分析解答．

試題解析：(1)、因為平移，AB保持不變，且AB與CD間的距離不變，所以四邊形ABCD的面積不變，故A正確；當AD⊥CD時，四邊形ABCD可以是矩形，故C正確；因為AD的長度有變化，所以四邊形ABCD的周長改變，故D正確；

(2)、①、A'C∥BD．理由如下：

如圖2，由ABEF可得，AB=CD，AB∥CD，又根據對折可知AB=A'B，∠3=∠2，∴A'B=CD，∠1=∠3，

∴OD=OB．∴OA'=OC， ∴∠4=∠5．∵∠BOD=∠A'OC，∴∠4+∠5=∠1+∠3， 即∠1=∠4， ∴A'C∥BD．

②、如圖3，由①知CD=AB=2，∠1=∠2，∠A=∠3．當四邊形A'DBC矩形時，有∠DBC=90°，OA'=OD=OB=OC=1．

當∠A'OD=60°，則∠DOB=120°，∴∠1=30°．∴∠2=30°，∠A=∠3=60°．∴∠ADB=90°．

∴在Rt△ADB中，AD=AB=1．

當∠DOB=60°（如圖4），則△ODB為正三角形，∴∠2=∠1=60°，∠A=∠3=30°BD=OD=1．∴∠ADB=90°

∴在Rt△ADB中，tan∠2=，∴AD=BDtan∠2=1tan60°=．

綜上可得，AD的長為1或．