Question

【題目】用兩個全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一個含60°角的三角尺與這個菱形疊合，使三角尺的60°角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB，AC重合．將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉．

（1）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點E，F時，（如圖1），通過觀察或測量BE，CF的長度，你能得出什么結論并證明你的結論；

（2）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長線相交于點E，F時（如圖2），你在（1）中得到的結論還成立嗎？簡要說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BE＝CF．見解析；（2）BE＝CF仍然成立．理由見解析.

【解析】

（1）根據圖形中BE、CF的長度可以直接得出BE＝CF的結論，當然也可以通過證明△ABE≌△ACF得出結論．

（2）可以通過證明△ADF≌△ACE，得出CE＝DF，進而得出BE＝CF．

（1）BE＝CF．

證明：在△ABE和△ACF中，

∵∠BAE+∠EAC＝∠CAF+∠EAC＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF．

∵AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）．

∴BE＝CF；

（2）BE＝CF仍然成立．

證明：在△ACE和△ADF中，

∵∠CAE+∠EAD＝∠FAD+∠DAE＝60°，

∴∠CAE＝∠DAF，

∵∠BCA＝∠ACD＝60°，

∴∠FCE＝60°，

∴∠ACE＝120°，

∵∠ADC＝60°，

∴∠ADF＝120°，

在△ACE和△ADF中，

∴△ADF≌△ACE，

∴CE＝DF，

∴BE＝CF.