Question

如圖，某校計劃將一塊形狀為銳角三角形ABC的空地進行生態環境改造．已知△ABC的邊BC長120米，高AD長80米．學校計劃將它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分(如圖)．其中矩形EFGH的一邊EF在邊BC上．其余兩個頂點H、G分別在邊AB、AC上．現計劃在△AHG上種草，每平方米投資6元；在△BHE、△FCG上都種花，每平方米投資10元；在矩形EFGH上新建愛心魚池，每平方米投資4元．

(1)當FG長為多少米時，種草的面積與種花的面積相等？

(2)當矩形EFGH的邊FG為多少米時，△ABC空地改造總投資最小？最小值為多少？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設FG＝x米，則AK＝(80－x)米，△AHG∽△ABC，BC＝120，AD＝80，可得＝． 　　所以HG＝120－x． 　　BE＋FC＝120－(120－x)＝x． 　　所以(120－x)·(80－x)＝×x·x，解得x＝40． 　　所以當FG的長為40米時，種草的面積和種花的面積相等． 　　(2)答：當矩形EFGH的邊FG長為20米時，空地改造的總投資最小，最小值為26400元． 　　設改造后的總投資為W元， 　　W＝(120－x)·(80－x)·6＋×x·x·10＋x(120－x)·4＝6x2－240x＋28800＝6(x－20)2＋26400． 　　所以當x＝20時，W最小＝26400．