Question

（本小題滿分14分）
已知函數滿足如下條件：當時，，且對任意，都有．
（1）求函數的圖象在點處的切線方程；
（2）求當，時，函數的解析式；
（3）是否存在，，使得等式

成立？若存在就求出（），若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）時，，，     ………………………2分
所以，函數的圖象在點處的切線方程為，即．…3分
（2）因為，
所以，當，時，，    ………………………4分

．…6分
（3）考慮函數，，，
則，
當時，，單調遞減；
當時，；
當時，，單調遞增；
所以，當，時，，
當且僅當時，．      ……………………………10分
所以，
而，
令，則，
兩式相減得，
．
所以，，
故．  ……………………12分
所以，．
當且僅當時，
．
所以，存在唯一一組實數，，
使得等式成立．    ……………………………14分解析:
略