Question

如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面垂直, AA1=AB=AC=1,AB⊥AC, M是CC1的中點, N是BC的中點,點P在線段A1B1上,且滿足A1P=lA1B1.
(1)證明：PN⊥AM.
(2)當λ取何值時,直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求該角最大值的正切值．
(3)是否存在點P,使得平面 PMN與平面ABC所成的二面角為45°.若存在求出l的值,若不存在,說明理由．

Answer 1

（1）見解析；（2）(tan θ)max＝2；（3）不存在.解析:
第一問中利用以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系
設為平面的法向量，又正方體的棱長為1，
借助于，得到結論
第二問中，平面ABC的一個法向量為n＝(0,0,1),
則sin θ＝＝ (*)
而θ∈[0,],當θ最大時,sin θ最大,tan θ最大(θ＝除外),
由(*)式,當λ＝時,(sin θ)max＝,(tan θ)max＝2  
第三問中，平面ABC的一個法向量為n (0,0,1).設平面PMN的一個法向量為m=(x,y,z),
由(1)得＝(λ,－1,)．
由求出法向量，然后結合二面角得到解得λ＝－.
(1)證明　如圖,以AB,AC,AA1分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系A－xyz.則P(λ,0,1),N(,,0),
從而＝(－λ, ,－1),＝(0,1, )．
\＝(－λ)×0＋×1－1×＝0,

∴PN⊥AM.                                             -------------4分
(2)解　平面ABC的一個法向量為n＝(0,0,1),
則sin θ＝＝ (*)
而θ∈[0,],當θ最大時,sin θ最大,tan θ最大(θ＝除外),
由(*)式,當λ＝時,(sin θ)max＝,(tan θ)max＝2        -----------6分
(3)平面ABC的一個法向量為n (0,0,1).設平面PMN的一個法向量為m=(x,y,z),
由(1)得＝(λ,－1,)．
由
令x＝3,得m＝(3,2λ＋1,2(1－λ))．
∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°,
∴|cos〈m,n〉|＝＝＝,解得λ＝－.
故在線段A1B1上不存在點P                                         --------------6分