Question

已知定點A，B且AB=2a，如果動點P到點A的距離和到點B的距離之比為2：1，求點P的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．

Answer 1

分析：先依據條件建立恰當的直角坐標系，設P為（x，y），依據題中條件：“距離之比”列關于x，y的方程式，化諳即可得點P的軌跡方程．

解答：解：選取AB所在直線為橫軸，
從A到B為正方向，以AB中點O為原點，
過O作AB的垂線為縱軸，則A為（-a，0），
B為（a，0），設P為（x，y）
∵

PA

PB

=

2

1

，∴

(x+a)2+y2

(x-a)2+y2

=2．
∴（x+a）²+y²=4[（x-a）²+y²]，
∴3x²-10ax+3y²+3a²=0．
因為x²，y²兩項的系數相等，且缺xy項，
所以軌跡的圖形是圓．

點評：求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系．直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．